A Minimal Book Example
前言
1
高斯消元法 {Gaussian elimination}
1.1
数学
1.2
计算
2
Cholesky分解 {Cholesky decomposition}
2.1
\(A^{T}A\)
2.2
对称
2.3
正定矩阵
2.4
Cholesky分解
2.5
计算
3
QR 分解
3.1
Gram-Schmidt
3.2
Householder变换
3.3
计算
4
特征分解 {Eigen decomposition}
4.1
出现原因
4.1.1
主成分分析
4.1.2
物理方程
4.1.3
Quadratic Energy
4.2
定义
4.2.1
特征值和特征向量
4.2.2
谱和谱半径
4.2.3
有关特征值和特征向量的定理
4.2.4
扩展到复域
4.2.5
谱定理
4.2.6
理论基础
4.3
计算
4.3.1
最大的 eigenvalue 及对应的 eigenvector
4.3.2
最小的 eigenvalue 及对应的 eigenvector
4.3.3
靠近
\(\sigma\)
的 eigenvalue 及对应的 eigenvector
4.3.4
根据 eigenvector 猜 eigenvalue
4.3.5
All eigenevalue
4.3.6
Householder 变换
4.3.7
QR
5
奇异值分解 {SVD decomposition}
5.1
引入
5.2
理解
5.3
计算
5.4
应用
5.4.1
例子一
5.4.2
例子二
5.4.3
例子三
5.5
例子
6
奇异值分解的应用 {SVD application}
6.1
Rigid Alignment / Procrustes Problem
6.2
APAR
6.3
PCA
6.4
图像压缩
7
矩阵分解 {matirx application}
7.1
定义
7.1.1
共轭转置 Conjugate transpose
7.1.2
Hermitian
7.1.3
正定 positive definite
7.1.4
正交矩阵 orthogonal matrix
7.1.5
酉矩阵 unitary matrix
7.1.6
正规矩阵 normal matrix
7.1.7
类比
7.2
分解
7.2.1
A = PLU
7.2.2
Cholesky 分解
7.2.3
QR分解
7.2.4
特征分解/频谱分解 Eigendecomposition / spectral decomposition
7.2.5
奇异值分解
8
非线性方程求解 {nonlinear equation}
8.1
二分法 Bisection method
8.2
不动点 fixed point
8.3
牛顿法 Newton’s method
8.4
割线法 Secant method
8.5
计算
9
非线性方程组求解 {nonlinear equations}
9.1
牛顿法
9.1.1
雅可比矩阵 Jacobian matrix
9.2
Broyden’s method
9.3
计算
10
临界点、驻点、拐点、鞍点、顶点(曲线) {Points Concepts}
10.1
临界点 critial point
10.2
驻点 stationary point
10.3
拐点 inflection point
10.3.1
convex 凸函数
10.3.2
concave 凹函数:
10.4
鞍点 saddle point
10.5
顶点(曲线)vertex (curve)
11
导数、梯度、 Jacobian、Hessian {Gradient Related Concepts}
11.1
导数
11.2
梯度
11.3
Jacobian 雅可比矩阵
11.4
Hessian 黑塞矩阵
12
无约束优化 {Optimization without constraintss}
12.1
例子
12.2
极值
12.3
一元函数
12.3.1
牛顿法
12.3.2
黄金分割搜索 Golden-section search
12.4
多元函数
12.4.1
梯度下降法
12.4.2
牛顿法
12.4.3
BFGS
13
从拉格朗日乘子法到KKT条件 {Lagrange multiplier to KKT condition}
13.1
介绍
13.2
多个约束
13.2.1
例子
13.3
KKT 条件
13.3.1
介绍
13.4
KKT 条件
13.5
例子
14
从梯度下降到共轭梯度 {Conjugate gradient}
14.1
梯度下降 Gradient descent
14.2
共轭梯度 Conjugate gradient
14.3
总结
15
插值 {Interpolate}
15.1
多项式插值
15.2
拉格朗日插值法
15.3
牛顿插值法
15.4
分段插值
16
数值积分和微分{Numerial Intergration}
16.1
积分
16.1.1
黎曼和
16.1.2
梯形法则
16.1.3
辛普森法则
16.1.4
牛顿-柯特斯公式
16.1.5
精确度
16.2
微分
17
常微分方程 {ODE}
17.1
基本形式
17.2
显式 ODE
17.3
可视化
17.4
解的状况
17.5
线性ODE
17.6
求解
17.6.1
前向欧拉法
17.6.2
后向欧拉
18
偏微分方程 {PDE}
18.1
解
18.2
运算符
18.3
纳维-斯托克斯方程 Navier-Stokes equations
18.4
麦克斯韦方程组 Maxwell’s equations
18.5
拉普拉斯方程 Laplace’s equation
18.6
调和分析 Harmonic analysis
18.7
边界条件 Boundary Value Problems
18.8
二阶PDE
18.9
椭圆型 PDE
18.10
抛物型 PDE
18.11
双曲型 PDE
18.12
微分看成算子
References
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数值分析笔记
数值分析笔记
o-o
2020-04-28
前言
数值分析笔记。 用 R bookdown 写成。